DIARIO 3

Luis Bautista

DIARIO 3

 La continuidad de una función es un concepto fundamental en matemáticas. Intuitivamente, decimos que una función es continua cuando podemos dibujar su gráfica con un solo trazo del lápiz, es decir, sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo, esta idea no es suficientemente precisa, y vamos a profundizar en el estudio de la continuidad de las funciones.

Aquí están los puntos clave sobre la continuidad de una función:

1. Continuidad en un punto:
   • Decimos que una función es continua en un punto (x=a) cuando se cumplen tres condiciones:
     • La función está definida en (x=a): (\exists f(a)).
     • Existe el límite y es finito: (\exists \lim_{{x \to a}} f(x) \in \mathbb{R}).
     • Los límites laterales coinciden: (\lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x)).
   • Formalmente, una función (f(x)) es continua en (a) si, para cualquier entorno de (f(a)) que fijemos, podemos encontrar un entorno de (a) cuyas imágenes correspondientes estén contenidas en el entorno de (f(a)):
     • (\exists f(a)).
     • (\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0) tal que si (|x - a| < \delta), entonces (|f(x) - f(a)| < \varepsilon).
2. Continuidad en un intervalo abierto o cerrado:
   • Una función es continua en un intervalo abierto o cerrado si es continua en cada punto dentro de ese intervalo.
3. Tipos de discontinuidad:
   • Las gráficas pueden ser discontinuas por distintas razones:
     • Asíntotas verticales (ramas infinitas).
     • Saltos finitos.
     • Funciones no definidas en un punto o con valores que no coinciden en su entorno.

En resumen, la continuidad de una función se relaciona con su comportamiento en puntos específicos y en intervalos. Si cumple las condiciones mencionadas, decimos que es continua. Si no, presenta algún tipo de discontinu