REGLAS DE DERIVACION ALGEBRAICA

 

Reglas de derivación

Derivada de una constante

Establece que la derivada de una constante es cero. Es decir, si f(x)=c, entonces f’(x)=0. Por ejemplo, la derivada de la función constante 2 es igual a 0.

Derivada de una potencia

Si f(x)=xn, entonces f’(x)=nxn-1. Por ejemplo, la derivada de x3 es 3x2. Como consecuencia de esto, se obtiene que la derivada de la función identidad f(x)=x es f’(x)=1x1-1=x0=1.

Otro ejemplo es el siguiente: sea f(x)=1/x2, entonces f(x)=x-2 y f’(x)=-2x-2-1=-2x-3.

Esta propiedad también es válida raíces, pues las raíces son potencias racionales y se puede aplicar lo anterior también en ese caso. Por ejemplo, la derivada de una raíz cuadrada viene dada por

Derivada de una suma y de una resta

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces la suma f+g también lo es y se cumple que (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x).

Análogamente se tiene que (f-g)’(x)=f’(x)-g’(x). En otras palabras, la derivada de una suma (resta), es la suma (o resta) de las derivadas.

Ejemplo

Si h(x)=x2+x-1, entonces

h’(x)=(x2)+(x)’-(1)’=2x+1-0=2x+1.

Derivada de un producto

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces el producto fg también es diferenciable en x y se cumple que

(fg)’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x).

Como consecuencia se tiene que si c es una constante y f es una función diferenciable en x, entonces cf también es diferenciable en x y (cf)’(x)=cf’(X).

Ejemplo

Si f(x)=3x(x2+1), entoncesf’(x)=(3x)’(x2+1)+(3x)(x2+1)’=3(x)’(x2+1)+3x[(x2)’+(1)’]

=3(1)( x2+1)+3x[(2x2-1)+0]=3(x2+1)+3x(2x)=3x2+3+6x2

=9x2+3.

Derivada de un cociente

Si f y g son diferenciables en x y g(x)≠0, entonces f/g también es diferenciable en x, y se cumple que

                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Ejemplo: si h(x)=x3/(x2-5x), entonces h’(x)=[( x3)’(x5-5x)-( x3) (x5-5x)’]/ (x5-5x)2=[(3x2) (x5-5x)- ( x3) (5x4-5)]/ (x5-5x)2.

Regla de la cadena

Esta regla permite derivar la composición de funciones. Establece lo siguiente: si y=f(u) es diferenciable en u, y u=g(x) es diferenciable en x, entonces la función compuesta f(g(x)) es diferenciable en x, y se cumple que [f(g(x))]’=f’(g(x))g’(x).

Es decir, la derivada de una función compuesta es el producto de la derivada de la función externa (derivada externa) por la derivada de la función interna (derivada interna).

Ejemplo

Si f(x)=(x4-2x)3, entonces

f’(x)=3(x4-2x)2(x4-2x)’=3(x4-2x)2(4x3-2).

También hay resultados para calcular la derivada de la inversa de una función, así como la generalización a derivadas de orden superior. Las aplicaciones son extensas. Entre ellas resaltan sus utilidades en problemas de optimización y de máximos y mínimos de funciones.