Derivada de la función exponencial
Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos encontrar las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. A medida que desarrollamos estas fórmulas, necesitamos hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas que sostienen estos supuestos están más allá del alcance de este curso.
En primer lugar, comenzamos con el supuesto de que la función B(x) = bˣ, b > 0, se define para cada número real y es continua. En cursos anteriores, se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, comenzando con la definición de bⁿ, donde n es un número entero positivo, como el producto de b multiplicado por sí mismo n veces. Más tarde, definimos b⁰ = 1, b⁻ⁿ = 1/bⁿ, para un entero positivo n, y bˢ⁄ᵗ = (ᵗ√b)ˢ para enteros positivos s y t. Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de bʳ donde r es un número real arbitrario. Al suponer la continuidad de B(x) = bˣ, b > 0, podemos interpretar bʳ como limx → r bˣ donde los valores de x tiende a números racionales. Por ejemplo, podemos ver como el número que satisface
Como vemos en la siguiente tabla, 4^ π ≈ 77.88.
También suponemos que para B(x) = bˣ, b > 0, existe el valor B′(0) de la derivada. En esta sección, mostramos que al hacer esta suposición adicional, es posible demostrar que la función B(x) es diferenciable en todas partes.
Hacemos una suposición final: que hay un valor único de b > 0 para el cual B′(0) = 1. Definimos e como este valor único, como lo hicimos en Introducción a funciones y sus gráficas. La figura 3.9_1 proporciona gráficas de las funciones y = 2ˣ, y = 3ˣ, y = 2.7ˣ, y y = 2.8ˣ. Una estimación visual de las pendientes de las rectas tangentes a estas funciones en 0 proporciona evidencia de que el valor de e se encuentra entre 2.7 y 2.8. La función E(x) = eˣ se llama función exponencial natural. Su inverso, L(x) = logex = lnx se llama función logaritmo natural.
Para una mejor estimación de e, podemos construir una tabla de estimaciones de B′(0) para funciones de la forma B(x) = bˣ. Antes de hacer esto, recuerda que
para valores de x muy cercanos a cero. Para nuestras estimaciones, elegimos x = 0.00001 y x = −0.00001 para obtener la estimación
Ver la siguiente tabla:
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