PROBLEMA DE VALOR INICIAL

 Un Problema del Valor Inicial (PVI) es un tipo de problema que involucra una ecuación diferencial junto con una condición inicial. Este tipo de problema es muy común en física, ingeniería y matemáticas aplicadas porque muchos fenómenos naturales y procesos técnicos pueden ser modelados con ecuaciones diferenciales.

Un ejemplo simple de PVI sería una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden como:

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)\backslash frac\{dy\}\{dx\}\; =\; f(x,\; y)$$

con una condición inicial dada:

$$y(x_0)=y_{0}y(x\_0)\; =\; y\_0$$

donde $x_{0}x\_0$ es el punto inicial y $y_{0}y\_0$ es el valor de $yy$ en ese punto.

¿Tienes algún problema del valor inicial específico que necesitas resolver? Estaría encantado de ayudarte con ello.

En cálculo multivariable, un problema de valor inicial (IVP) es una ecuación diferencial ordinaria junto con una condición inicial que especifica el valor de la función desconocida en un punto dado en el dominio. Modelar un sistema en física u otras ciencias frecuentemente equivale a resolver un problema de valor inicial. En ese contexto, el valor inicial diferencial es una ecuación que especifica cómo evoluciona el sistema con el tiempo dadas las condiciones iniciales del problema.

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial

 con  Donde  es un conjunto abierto ,

junto con un punto en el dominio 

llamada condición inicial.

A solución a un problema de valor inicial es una función  que es una solución a la ecuación diferencial y satisfies

En dimensiones superiores, la ecuación diferencial es reemplazada por una familia de ecuaciones , y  es visto como el vector , más comúnmente asociado con la posición en el espacio. Más generalmente, la función desconocida  puede tomar valores en espacios dimensionales infinitos, como espacios de Banach o espacios de distribuciones.

Los problemas de valor inicial se extienden a órdenes superiores al tratar los derivados de la misma manera que una función independiente, por ejemplo. .

Un ejemplo simple es resolver ${displaystyle y'(t)=0.85y(t)}$ y ${displaystyle y(0)=19}$. Estamos tratando de encontrar una fórmula para ${displaystyle y(t)}$ que satisface estas dos ecuaciones.

Reorganizar la ecuación para que ${displaystyle y}$ está en el lado izquierdo

${fnMicrosoft Sans Serif}=0.85}$

Ahora integre ambas partes con respecto a ${displaystyle t}$ (Esto introduce una constante desconocida ${displaystyle B}$).

${fnMicrosoft Sans Serif},dt=int 0,85,dt}$

${displaystyle ln Silencioy(t)$

Eliminar el logaritmo con exponenciación en ambos lados

${fnMicrosoft Sans Serif}$

Vamos ${displaystyle C}$ ser una nueva constante desconocida, ${displaystyle C=pm e^{B}$Así que

${displaystyle y(t)=Ce^{0.85t}$

Ahora necesitamos encontrar un valor para ${displaystyle C}$. Uso ${displaystyle y(0)=19}$ como se da en el principio y sustituir 0 para ${displaystyle t}$ y 19 para ${displaystyle y}$

${displaystyle 19=Ce^{0.85cdot 0}$

${displaystyle C=19}$

esto da la solución final ${displaystyle y(t)=19e^{0.85t}$.

Segundo ejemplo

La solución de

${displaystyle y'+3y=6t+5,qquad y(0)=3}$

se puede encontrar que es

${displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.,}$

De hecho,

${displaystyle {begin{aligned}y'+3y simultáneamente={tfrac {d} {dt}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\\\\=(6e^{-3t}+6t}}\\\6t+5.$

        

$$<p><br></p><span> \; </span><span><br></span><span><br></span>$$