ECUACIONES EXACTAS

ECUACIONES EXACTAS

Una ecuación diferencial exacta es un tipo especial de ecuación diferencial en la que se cumple una condición de exactitud. Se puede escribir en la siguiente forma:

Donde M(x,y) $M(x,y)$ y  N (x,y)$N(x,y)$ son funciones de las variables x$x$ e y$y$.

Para determinar si una ecuación diferencial es exacta, se verifica si se cumple la condición de exactitud:

Si la condición de exactitud se cumple, se procede a encontrar la función potencial

tal que

La solución general de una ecuación diferencial exacta se obtiene encontrando la función potencial 

y estableciendo = C, Donde C Es una constante arbitraria

Las ecuaciones diferenciales exactas tienen diversas aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y otras áreas, y se utilizan para modelar fenómenos de flujo, termodinámica y electromagnetismo, entre otros.

ENFRIAMIENTO DE NEWTON

¿Qué dice la Ley del Enfriamiento de Newton? Esta ley establece que la temperatura de un cuerpo cualquiera cambia a una velocidad que es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas tanto del cuerpo mismo y el medio ambiente. Esto quiere decir que nosotros al tener por ejemplo un café en un cuarto, este va a igualarse a la temperatura a la que esté el cuarto en un determinado intervalo de tiempo, para eso, se puede representar en una ecuación diferencial, que quedaría de la siguiente manera: 

 

en donde T es temperatura, t es tiempo, K es una constante de proporcionalidad a esas diferencias de temperaturas, T es la temperatura del cuerpo, y Tm la temperatura ambiental (donde el cuerpo de estudio se encuentre).

Solución de la Ecuación Diferencial Esta ecuación puede resolverse mediante el método de variables separables, lo que queremos es tener a las temperaturas con el diferencial de las mismas, y la constante de proporcionalidad con el diferencial del tiempo: 

una vez teniendo la ecuación separada, procedemos a integrar ambos miembros para no desequilibrar la ecuación. Los límites de integración van desde una temperatura inicial a una final, y respecto al tiempo, desde 0 hasta otro tiempo cualquiera.

Al integrar ambos lados, tenemos que:

                                                             

                                             

Evaluando en T (no en Tm, esa es la temperatura del medio ambiente donde se encuentre nuestro cuerpo de estudio, dependiendo del problema que se nos presente):

De tal manera que, al apoyarnos de una ley de los logaritmos cuando tenemos una diferencia de los mismos, podemos reescribirlo como: 

 

Pero podemos observar que la variable dependiente (Temperatura), está metida en el logaritmo, para poder eliminarlo, debemos aplicar logaritmo entonces del otro lado también, para no alterar nuestra solución general, pero nos conviene agregar también un exponencial, ya que recordando: ln𝑒=1; ln𝑒(𝑎)=𝑎, esto podemos reescribirlo como: ln𝑒𝑎=𝑎.

Ahora bien, lo que nosotros queremos es conocer T, ya que, en muchas ocasiones, la temperatura inicial es conocida, la temperatura ambiental también, entonces, T es nuestra incógnita, por lo tanto, ambos lados tienen que ser iguales, y si en ambos hay logaritmos, al operar, los logaritmos se cancelan, por lo que nos quedaría lo siguiente:

Operando paso a paso para conocer
y finalmente tendríamos que: 𝑻=𝑻𝒎+(𝑻𝒊−𝑻𝒎)𝒆𝒌𝒕 Entonces, si se diera el caso de que nos pregunten el tiempo, la K, o cualquier variable de esa ecuación, solo tendríamos que despejar. A continuación, se nos presenta un ejemplo de aplicación sobre la ley del enfriamiento de Newton.

En 𝑡=0, se tiene una temperatura inicial 𝑇𝑖=30º𝐶, además, cuando han transcurrido t=60𝑠 se tiene una temperatura 𝑇=26º𝐶; ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que se tenga una temperatura 𝑇=23º𝐶? Además, se cuenta con una temperatura ambiental 𝑇𝑚=20º𝐶. Solución: Observemos bien que, nos están preguntando el tiempo, no la temperatura, los datos que conocemos de la ecuación que hemos deducido son los que están marcados en rojo: 

Por lo tanto, primero debemos calcular cuánto vale nuestra constante de proporcionalidad, para eso, el tiempo SI ES CONOCIDO, son 60s, para que después con ayuda de estos datos: 𝑇=26º𝐶,𝑇𝑚=20º𝐶,𝑇𝑖=30º𝐶,𝑡=60𝑠; podamos encontrar un t2 que responda la pregunta, entonces:

Estamos frente a una ecuación exponencial, ¿Cómo la resolvemos?, muy fácil, aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuación, porque al tener un exponencial y le aplicamos un logaritmo, se tiene que: ln𝑒=1 y ln𝑒𝑎=ln𝑒(𝑎):

Ahora sí, con k conocida, podemos calcular el tiempo que tiene que pasar para que se tenga una temperatura de 𝑇=23º𝐶

Nuevamente, se nos presenta una ecuación exponencial, aplicamos logaritmos a ambos miembros de la ecuación otra vez:

De tal manera que, tienen que pasar 141.64 segundos o bien, 2.36 minutos para que se tenga una temperatura 𝑇 = 23º𝐶. Podemos comprobar igualmente, que, al tener ya todos los datos, llegaremos a la respuesta.

Hemos confirmado que, efectivamente, ese tiempo tiene que pasar para que se tenga una temperatura indicada, por lo tanto, se concluye que esta ley establecida por el Sir. Isaac Newton, es verdadera, y que el planteamiento de la ecuación diferencial es sumamente efectivo.