MÁXIMOS Y MÍNIMOS Los valores máximos de una función son los valores más altos de esta, mientras que los valores mínimos, como lo dice su nombre, se refiere a los valores más pequeños que dicha función puede tomar; ya sea en un intervalo determinado o de menos infinito a infinito. Para la comprensión plena de este tema, seis conceptos son vitales: PUNTO MÁXIMO RELATIVO Y PUNTO MÍNIMO RELATIVO: ​Debido a que muchas funciones tienen valores que van desde menos infinito a infinito es más sencillo referirse a los valores como punto máximo relativo y punto mínimo relativo, en estos dos puntos la recta tangente a la curva es completamente horizontal, por lo que su pendiente es igual a 0, aplicando los conocimientos con los que contamos podemos saber que igual, la derivada de la función va a tener el valor de 0. Estos puntos también determinan los intervalos crecientes y decrecientes. Pasos para encontrar los puntos mínimos y máximos: Se obtiene la derivada de la función. Se iguala la derivada a cero para luego resolver la ecuación y así encontrar los valores de x, dichos valores son llamados valores críticos. Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los valores críticos previamente obtenidos. Si el resultado es menor a cero entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a cero entonces es un punto mínimo. Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así determinamos las coordenadas de dichos puntos. INTERVALOS CRECIENTE Y DECRECIENTE:​ Se dice que una función es creciente cuando entre mayor sea el valor de x, mayor será el valor de y. Puesto en palabras más simple va hacia delante y arriba.  En cambio, una función es decreciente cuando entre mayor sea el valor de x, menor será el valor de y. Se puede decir entre más avanza, más se sumerge. Determinar los  crecientes y decrecientes de una función: Obtenemos la de derivada de la función. Se determinan los valores críticos. Se ubican dichos valores en una recta. Se buscan números entre los parámetros y se sustituyen en la derivada. *Si la derivada es mayor a cero, es creciente. *Si la derivada es menor a cero, es decreciente.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     CONCAVIDAD: ​Característica de una curva en el entorno de un punto en el que la tangente no la atraviesa. Se dice que dicha curva, en el punto dado, presenta una concavidad hacia el lado donde no se encuentra la tangente. la concavidad puede ser determinada por medio de la segunda derivada. Una función es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por debajo de la curva. De forma inversa, una función es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están encima de la curva. En un punto de la función cambia la concavidad, este punto es conocido como punto de inflexión. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 10/28/2017 0 Comentarios Los valores máximos de una función son los valores más altos de esta, mientras que los valores mínimos, como lo dice su nombre, se refiere a los valores más pequeños que dicha función puede tomar; ya sea en un intervalo determinado o de menos infinito a infinito. Para la comprensión plena de este tema, seis conceptos son vitales: PUNTO MÁXIMO RELATIVO Y PUNTO MÍNIMO RELATIVO: ​Debido a que muchas funciones tienen valores que van desde menos infinito a infinito es más sencillo referirse a los valores como punto máximo relativo y punto mínimo relativo, en estos dos puntos la recta tangente a la curva es completamente horizontal, por lo que su pendiente es igual a 0, aplicando los conocimientos con los que contamos podemos saber que igual, la derivada de la función va a tener el valor de 0. Estos puntos también determinan los intervalos crecientes y decrecientes. Pasos para encontrar los puntos mínimos y máximos: Se obtiene la derivada de la función. Se iguala la derivada a cero para luego resolver la ecuación y así encontrar los valores de x, dichos valores son llamados valores críticos. Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los valores críticos previamente obtenidos. Si el resultado es menor a cero entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a cero entonces es un punto mínimo. Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así determinamos las coordenadas de dichos puntos. INTERVALOS CRECIENTE Y DECRECIENTE:​ Se dice que una función es creciente cuando entre mayor sea el valor de x, mayor será el valor de y. Puesto en palabras más simple va hacia delante y arriba.  En cambio, una función es decreciente cuando entre mayor sea el valor de x, menor será el valor de y. Se puede decir entre más avanza, más se sumerge. Determinar los intervalos crecientes y decrecientes de una función: Obtenemos la de derivada de la función. Se determinan los valores críticos. Se ubican dichos valores en una recta. Se buscan números entre los parámetros y se sustituyen en la derivada. *Si la derivada es mayor a cero, es creciente. *Si la derivada es menor a cero, es decreciente. CONCAVIDAD: ​Característica de una curva en el entorno de un punto en el que la tangente no la atraviesa. Se dice que dicha curva, en el punto dado, presenta una concavidad hacia el lado donde no se encuentra la tangente. la concavidad puede ser determinada por medio de la segunda derivada. Una función es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por debajo de la curva. De forma inversa, una función es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están encima de la curva. En un punto de la función cambia la concavidad, este punto es conocido como punto de inflexión. PUNTO DE INFLEXIÓN: El punto de inflexión es aquel en donde  la recta tangente atraviesa la gráfica de la función y ocurre un cambio de curvatura ya sea de cóncava a convexa o convexa a cóncava. Por lo tanto éste punto nos representa el cambio de concavidad en la función. Con este punto podemos determinar los intervalos de concavidad

DERIVADAS IMPLICITAS

 

¿Qué son las derivadas implícitas?

Las derivadas implícitas son herramientas que se utilizan en una técnica de diferenciación aplicada a funciones. Se aplican cuando no es posible, bajo métodos regulares, realizar el despeje de la variable dependiente que se quiere derivar. Este despeje se hace en función de la variable independiente. Por ejemplo, en la expresión 3xy3 – 2y + xy2 = xy, no se puede conseguir la expresión que define a “y” en función de “x”. De manera que al derivar se pueda obtener la expresión diferencial dy/dx.

¿Cómo se resuelven las derivadas implícitas?

Para resolver una derivada implícita, se parte de una expresión implícita. Por ejemplo: 3xy3 – 2y + xy2 – xy = 0. Esta ya se ha despejado correctamente, sin embargo, hacerlo no es una condición necesaria para obtener la derivada de y respecto a x. Después, se derivan cada uno de los elementos, respetando la regla de la cadena para funciones mixtas:

3xy3 se compone por 2 variables, por lo tanto, d(3xy3) se tratará como la derivada de un producto de funciones.

d(3xy3)/dx = 3y3 + 3y2.(3x) y’ = 3y3 + 9xy2 y’

Donde el elemento y’ se conoce como “y prima” y representa dy/dx

-2y Se deriva según la ley K.U = K.U’

d(-2y) = -2 y’

xy2 

supone otro diferencial compuesto por un producto de funciones

d(xy2) = y2 + 2xy y’

-xy se trata de forma homóloga

d(-xy) = -y –  x y’

Se sustituyen en la igualdad, conociendo que la derivada de cero es cero.

3y3 + 9xy2 y’ – 2 y’ + y2 + 2xy y’ – y – x y’ = 0

Se agrupan en un lado de la igualdad los elementos que poseen el término y’3y3 + y2 – y = -9xy2 y’ + 2 y’ + x y’

Se extrae el factor común y’ en el miembro derecho de la igualdad

3y3 + y2 – y = y’ (-9xy2 + x + 2)

Por último, se despeja el término que multiplica a y’. Obteniéndose así la expresión correspondiente a la derivada implícita de y respecto a x.

y’ = dy/dx = (3y3 + y2 – y)/(-9xy2 + x + 2)

Regla de la cadena en las derivadas implícitas

En la derivación implícita se respeta siempre la regla de la cadena. Todas las expresiones diferenciales se darán en función de la variable independiente X. De manera que toda variable θ distinta de X, debe incluir el término dθ/dx después de ser derivada.

Este término aparecerá únicamente en primer grado o con exponente igual a 1. Esta cualidad lo hace completamente despejable bajo métodos tradicionales de factorización. De manera que se hace posible la obtención de la expresión que define al diferencial dθ/dx.

En la regla de la cadena se muestra el carácter progresivo del proceso de diferenciación o derivada. Donde para toda función compuesta f [ g(x) ], se tiene que la expresión diferencial de f será

Orden operacional en las derivadas implícitas

En cada fórmula o ley de derivación que se aplique, se debe tener en cuenta el orden de las variables entre sí. Se respetan los criterios asociados a la variable independiente, sin alterar su correlación con la variable dependiente.

La relación de la variable dependiente al momento de derivar se toma de manera directa.; con la excepción de que se considerará a esta como una segunda función, razón por la cual se aplica el criterio de regla de la cadena para funciones mixtas.

Esto se puede desarrollar en expresiones con más de 2 variables. Bajo los mismos principios se denotarán todos los diferenciales referentes a las variables dependientes.

Gráficamente, se maneja el mismo criterio que define a la derivada. Mientras la derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en el plano, el resto de diferenciales pertenecientes a las variables dependientes (dy/dx, dz/dx) representan planos tangentes a los cuerpos vectoriales descritos por las funciones de variable múltiple.

Implícita de una función

Se dice que una función está implícitamente definida, si la expresión y = f(x) puede representarse como una función de variable múltiple F (x , y) = 0 mientras F esté definido en el plano R2.

3xy3 – 2y + xy2 = xy se puede escribir de la forma 3xy3 – 2y + xy2 – xy = 0

En vista de la imposibilidad de explicitar la función y = f(x).

Historia de las derivadas implícitas

El cálculo diferencial comenzó a nombrarse por diversos investigadores matemáticos, alrededor del siglo XVII. La primera vez que se mencionó fue a través de los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Ambos trataron el cálculo diferencial desde distintos puntos de vista, pero convergiendo en sus resultados.

Mientras Newton se enfocó en la diferenciación como una velocidad o tasa de variación, el enfoque de Leibniz fue más geométrico. Se puede decir que Newton atacó las conjeturas dejadas por Apolonio de Perge, y Leibniz las ideas geométricas de Pierre de Fermat.

La derivación implícita aparece de inmediato al plantearse las ecuaciones diferenciales e integrales. Estas extendieron el concepto geométrico de Leibniz hasta R3 e incluso a espacios multidimensionales.

Aplicaciones de las derivadas implícitas

Las derivadas implícitas se utilizan en diversas situaciones. Son comunes en los problemas de tasa de cambio entre variables relacionadas, donde, según sea el sentido del estudio, se considerarán dependientes o independientes las variables.

ambién tienen aplicaciones geométricas interesantes, como por ejemplo, en problemas de reflexiones o sombras, sobre figuras cuya forma puede modelarse matemáticamente.

Son de frecuente uso en las áreas de economía e ingeniería, así como también en diversas investigaciones de fenómenos naturales y edificaciones experimentales.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Defina la expresión implícita que define a dy/dx

Se diferencia cada elemento de la expresión

Estableciendo la regla de la cadena en cada caso competente

Agrupando en un lado de la igualdad a los elementos que poseen dy/dx

Se factoriza usando el factor común

Se despeja obteniendo la expresión buscada

Ejercicio 2

Defina la expresión implícita que define a dy/dx

Expresando las derivadas a efectuar

Derivando implícitamente según regla de la cadena

Factorizando elementos comunes

Agrupando el término dy/dx en un lado de la igualdad

Factor común al elemento diferencial

Despejamos y obtenemos la expresión buscada

DERIVADAS EXPOTENCIALES Y LOGARITMICAS

 

Derivada de la función exponencial

Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos encontrar las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. A medida que desarrollamos estas fórmulas, necesitamos hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas que sostienen estos supuestos están más allá del alcance de este curso.

En primer lugar, comenzamos con el supuesto de que la función B(x) = bˣ, b > 0, se define para cada número real y es continua. En cursos anteriores, se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, comenzando con la definición de bⁿ, donde n es un número entero positivo, como el producto de b multiplicado por sí mismo n veces. Más tarde, definimos b⁰ = 1, b⁻ⁿ = 1/bⁿ, para un entero positivo n, y bˢ⁄ᵗ = (ᵗ√b)ˢ para enteros positivos s y t. Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de bʳ donde r es un número real arbitrario. Al suponer la continuidad de B(x) = bˣ, b > 0, podemos interpretar bʳ como limx → r bˣ donde los valores de x tiende a números racionales. Por ejemplo, podemos ver como el número que satisface

Como vemos en la siguiente tabla, 4^ π ≈ 77.88.

Tabla 3.9_1 Aproximación de un valor de 4^π

También suponemos que para B(x) = bˣ, b > 0, existe el valor B′(0) de la derivada. En esta sección, mostramos que al hacer esta suposición adicional, es posible demostrar que la función B(x) es diferenciable en todas partes.

Hacemos una suposición final: que hay un valor único de b > 0 para el cual B′(0) = 1. Definimos e como este valor único, como lo hicimos en Introducción a funciones y sus gráficas. La figura 3.9_1 proporciona gráficas de las funciones y = 2ˣ, y = 3ˣ, y = 2.7ˣ, y y = 2.8ˣ. Una estimación visual de las pendientes de las rectas tangentes a estas funciones en 0 proporciona evidencia de que el valor de e se encuentra entre 2.7 y 2.8. La función E(x) = eˣ se llama función exponencial natural. Su inverso, L(x) = logex = lnx se llama función logaritmo natural.

Para una mejor estimación de e, podemos construir una tabla de estimaciones de B′(0) para funciones de la forma B(x) = bˣ. Antes de hacer esto, recuerda que

para valores de x muy cercanos a cero. Para nuestras estimaciones, elegimos x = 0.00001 y x = −0.00001 para obtener la estimación

Ver la siguiente tabla:

REGLAS TRIGONOMETRICAS

 REGLAS TRIGONOMETRICAS

Las derivadas de funciones trigonométricas son otras funciones trigonométricas. Por ejemplo, la derivada de la función seno es igual a la función coseno y la derivada de la función coseno es igual a seno negativo.

A continuación, conoceremos todas las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas. Además, veremos algunos ejercicios en donde aplicaremos estas fórmulas.

Fórmulas de las derivadas de funciones trigonométricas

Derivada de la función seno

La derivada de la función seno estándar es:

${\sin }^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\cos (𝑥)$

Para derivar a funciones seno de la forma $\sin (𝑛𝑥)$, usamos la regla de la cadena con $𝑦=\sin (𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

De igual forma, para derivar funciones de la forma ${\sin }^{𝑛}(𝑥)=(\sin (𝑥){)}^{𝑛}$, usamos la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\sin (𝑥)$.

Derivada de la función coseno

La derivada de la función coseno estándar es:

${\cos }^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=-\sin (𝑥)$

Si tenemos funciones de la forma $\cos (𝑛𝑥)$, podemos usar la regla de la cadena con $𝑦=\cos (𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

En el caso de funciones de la forma ${\cos }^{𝑛}(𝑥)=(\cos (𝑥){)}^{𝑛}$, usamos la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\cos (𝑥)$.

Derivada de la función tangente

La derivada de la función tangente estándar es:

${\tan }^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={\sec }^2(𝑥)$

Para funciones de la forma $\tan (𝑛𝑥)$, usamos la regla de la cadena con $𝑦=\tan (𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

Para funciones de la forma ${\tan }^{𝑛}(𝑥)=(\tan (𝑥){)}^{𝑛}$, usamos la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\tan (𝑥)$.

Derivada de la función cosecante

La derivada de la función cosecante estándar es:

${\mathrm{cosec}}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=-\mathrm{cosec}(𝑥)\cot (𝑥)$

Las funciones cosecante de la forma $\mathrm{cosec}(𝑛𝑥)$, pueden ser derivadas con la regla de la cadena al usar $𝑦=\mathrm{cosec}(𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

De igual forma, las funciones de la forma ${\mathrm{cosec}}^{𝑛}(𝑥)=(\mathrm{cosec}(𝑥){)}^{𝑛}$, son derivadas con la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\mathrm{cosec}(𝑥)$.

Derivada de la función secante

La derivada de la función secante estándar es:

${\sec }^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\sec (𝑥)\tan (𝑥)$

Las funciones secante de la forma $\sec (𝑛𝑥)$ son derivadas usando la regla de la cadena con $𝑦=\sec (𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

De igual forma, las funciones de la forma ${\sec }^{𝑛}(𝑥)=(\sec (𝑥){)}^{𝑛}$ son derivadas usando la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\sec (𝑥)$.

Derivada de la función cotangente

La derivada de la función cotangente estándar es:

${\cot }^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=-{\mathrm{cosec}}^2(𝑥)$

Para derivar a funciones cotangente de la forma $\cot (𝑛𝑥)$, aplicamos la regla de la cadena con $𝑦=\cot (𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

Las funciones de la forma ${\cot }^{𝑛}(𝑥)=(\sin (𝑥){)}^{𝑛}$, también son derivadas usando la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\cot (𝑥)$

Ejercicios resueltos de derivadas de funciones trigonométricas

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $𝑦=\sin (5𝑥)$.

Solución

Podemos usar la regla de la cadena con $𝑢=5𝑥$. Entonces, tenemos:

$𝑦=\sin (𝑢)$ y $𝑢=5𝑥$

sus derivadas son:

${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}}=\cos (𝑢)$ y ${\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}=5$

Ahora, aplicamos la regla de la cadena:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}\frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}=\cos (𝑢)\times 5$$

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=5\cos (5𝑥)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\cos (5𝑥)\times (5𝑥{)}^{\mathrm{\prime }}=5\cos (5𝑥)$$

EJERCICIO 2

Encuentra la derivada de $𝑦={\cos }^2(𝑥)$.

Solución

Podemos empezar escribiendo como $(\cos (𝑥){)}^2$. Luego, tenemos:

$𝑦={𝑢}^2$ y $𝑢=\cos (𝑥)$

Las derivadas son:

${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}}=2𝑢$ y ${\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}=-\sin (𝑥)$

Usando la regla de la cadena, tenemos:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}\frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}=2𝑢(-\sin (𝑥))$$

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=-2\cos (𝑥)\sin (𝑥)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=2\cos (𝑥)\times (\cos (𝑥){)}^{\mathrm{\prime }}=-2\cos (𝑥)\sin (𝑥)$$