REGLAS DE DERIVACION ALGEBRAICA

 

Reglas de derivación

Derivada de una constante

Establece que la derivada de una constante es cero. Es decir, si f(x)=c, entonces f’(x)=0. Por ejemplo, la derivada de la función constante 2 es igual a 0.

Derivada de una potencia

Si f(x)=xn, entonces f’(x)=nxn-1. Por ejemplo, la derivada de x3 es 3x2. Como consecuencia de esto, se obtiene que la derivada de la función identidad f(x)=x es f’(x)=1x1-1=x0=1.

Otro ejemplo es el siguiente: sea f(x)=1/x2, entonces f(x)=x-2 y f’(x)=-2x-2-1=-2x-3.

Esta propiedad también es válida raíces, pues las raíces son potencias racionales y se puede aplicar lo anterior también en ese caso. Por ejemplo, la derivada de una raíz cuadrada viene dada por

Derivada de una suma y de una resta

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces la suma f+g también lo es y se cumple que (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x).

Análogamente se tiene que (f-g)’(x)=f’(x)-g’(x). En otras palabras, la derivada de una suma (resta), es la suma (o resta) de las derivadas.

Ejemplo

Si h(x)=x2+x-1, entonces

h’(x)=(x2)+(x)’-(1)’=2x+1-0=2x+1.

Derivada de un producto

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces el producto fg también es diferenciable en x y se cumple que

(fg)’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x).

Como consecuencia se tiene que si c es una constante y f es una función diferenciable en x, entonces cf también es diferenciable en x y (cf)’(x)=cf’(X).

Ejemplo

Si f(x)=3x(x2+1), entoncesf’(x)=(3x)’(x2+1)+(3x)(x2+1)’=3(x)’(x2+1)+3x[(x2)’+(1)’]

=3(1)( x2+1)+3x[(2x2-1)+0]=3(x2+1)+3x(2x)=3x2+3+6x2

=9x2+3.

Derivada de un cociente

Si f y g son diferenciables en x y g(x)≠0, entonces f/g también es diferenciable en x, y se cumple que

                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Ejemplo: si h(x)=x3/(x2-5x), entonces h’(x)=[( x3)’(x5-5x)-( x3) (x5-5x)’]/ (x5-5x)2=[(3x2) (x5-5x)- ( x3) (5x4-5)]/ (x5-5x)2.

Regla de la cadena

Esta regla permite derivar la composición de funciones. Establece lo siguiente: si y=f(u) es diferenciable en u, y u=g(x) es diferenciable en x, entonces la función compuesta f(g(x)) es diferenciable en x, y se cumple que [f(g(x))]’=f’(g(x))g’(x).

Es decir, la derivada de una función compuesta es el producto de la derivada de la función externa (derivada externa) por la derivada de la función interna (derivada interna).

Ejemplo

Si f(x)=(x4-2x)3, entonces

f’(x)=3(x4-2x)2(x4-2x)’=3(x4-2x)2(4x3-2).

También hay resultados para calcular la derivada de la inversa de una función, así como la generalización a derivadas de orden superior. Las aplicaciones son extensas. Entre ellas resaltan sus utilidades en problemas de optimización y de máximos y mínimos de funciones.

DERIVADAS

LUIS BAUTISTA

DEFINICION DE LA DERIVADA

En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

 

DIARIO 3

Luis Bautista

DIARIO 3

 La continuidad de una función es un concepto fundamental en matemáticas. Intuitivamente, decimos que una función es continua cuando podemos dibujar su gráfica con un solo trazo del lápiz, es decir, sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo, esta idea no es suficientemente precisa, y vamos a profundizar en el estudio de la continuidad de las funciones.

Aquí están los puntos clave sobre la continuidad de una función:

1. Continuidad en un punto:
   • Decimos que una función es continua en un punto (x=a) cuando se cumplen tres condiciones:
     • La función está definida en (x=a): (\exists f(a)).
     • Existe el límite y es finito: (\exists \lim_{{x \to a}} f(x) \in \mathbb{R}).
     • Los límites laterales coinciden: (\lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x)).
   • Formalmente, una función (f(x)) es continua en (a) si, para cualquier entorno de (f(a)) que fijemos, podemos encontrar un entorno de (a) cuyas imágenes correspondientes estén contenidas en el entorno de (f(a)):
     • (\exists f(a)).
     • (\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0) tal que si (|x - a| < \delta), entonces (|f(x) - f(a)| < \varepsilon).
2. Continuidad en un intervalo abierto o cerrado:
   • Una función es continua en un intervalo abierto o cerrado si es continua en cada punto dentro de ese intervalo.
3. Tipos de discontinuidad:
   • Las gráficas pueden ser discontinuas por distintas razones:
     • Asíntotas verticales (ramas infinitas).
     • Saltos finitos.
     • Funciones no definidas en un punto o con valores que no coinciden en su entorno.

En resumen, la continuidad de una función se relaciona con su comportamiento en puntos específicos y en intervalos. Si cumple las condiciones mencionadas, decimos que es continua. Si no, presenta algún tipo de discontinu     

 DIARIO 2

     LOS LIMITES DE FUNCION ALGEBRAICA.

Los límites de funciones algebraicas son una herramienta fundamental en el estudio de las matemáticas. En este artículo, exploraremos todo lo que debes saber sobre los límites de funciones algebraicas: desde su definición hasta su aplicación en problemas reales. Acompáñanos en este recorrido por el fascinante mundo de los límites y descubre cómo pueden ayudarte a comprender y resolver situaciones complejas.

Un límite de una función algebraica se define como el valor al que se acerca la función a medida que el valor de la variable independiente se acerca a un valor específico. Este concepto nos ayuda a comprender cómo la función se comporta en puntos críticos y nos permite realizar cálculos más precisos.

Existen varios tipos de límites de funciones algebraicas que debemos tener en cuenta. Uno de los más comunes es el límite lateral, que se refiere al valor al que se acerca la función desde la izquierda o desde la derecha de un punto específico. Esto es especialmente útil cuando la función presenta discontinuidades o saltos en su gráfica.